Александр Евгеньевич Майкапар родился в Москве в 1946 году. Музыкальное образование получил в Российской академии музыки имени Гнесиных (класс фортепиано профессора Теодора Гутмана) и в Московской государственной консерватории (класс органа профессора Леонида Ройзмана). Широкую концертную деятельность музыкант начал в 1970 году в качестве клавесиниста, органиста и пианиста. Он выступает в России и за рубежом (страны СНГ, Польша, Германия, Австрия, Бельгия). Неоднократно принимал участие в музыкальных фестивалях в Берлине, Потсдаме, Дрездене, Шверине, Вене, Варшаве, Брюсселе, Шарлеруа, Будапеште и других городах.
Александр Майкапар исполнил в концертах и записал на радио полное собрание клавесинных произведений И. С. Баха. Он является организатором музыкальных фестивалей «Музыка старой Вены», «Собрание сочинений Франсуа Куперена», юбилейного фестиваля к 150-летию со дня рождения Эдварда Грига и многих других.
Английская фирма «Olympia» выпустила пять компакт-дисков Александра Майкапара с записью старинной русской музыки на клавесине, фортепиано и старинном клавире из собрания Останкинского дворца графов Шереметевых.
Александр Майкапар является авторитетным учёным-исследователем. Его перу принадлежат более 100 работ по истории музыки, исполнительскому искусству, музыковедению, включая значительный труд в области иконографии христианского искусства «Новый завет в искусстве» (М., 1997).
В его переводе изданы книги Ванды Ландовской «О музыке» (М., 1991), Эрвина Бодки «Интерпретация клавирных произведений И. С. Баха» (М., 1993), Уолтера Эмери «Орнаментика И. С. Баха» (М., 1996), Джеймса Холла «Словарь сюжетов и символов в искусстве» (М., 1996), Генри В. Саймона «100 великих опер» с дополнением «Шедевры русской оперы», написанным Александром Майкапаром.
С сентября 2010 года Александр Евгеньевич Майкапар ведёт класс клавесина на Кафедре органа и клавесина РАМ имени Гнесиных. В Учебном году 2012-2013 сфера его педагогической деятельности расширилась за счёт дисциплин «Камерный ансамбль», «Органный ансамбль», «Концертмейстерский класс» и «Музыкальное исполнительство и педагогика».